根据你所反映的情况来看，你无权继承徐某的遗产。

自1994年2月1日《婚姻登记管理条例》施行之后，没有配偶的男女，未办理结婚登记手续即以夫妻名义共同生活的，不构成事实婚姻，属非法同居关系。

《最高人民法院关于适用<中华人民共和国婚姻法>若干问题的解释(一)》第六条：“未按婚姻法第八条规定办理结婚登记而以夫妻名义共同生活的男女，一方死亡，另一方以配偶身份主张享有继承权的，按照本解释第五条的原则处理。”而第五条规定：“未按婚姻法第八条规定办理结婚登记而以夫妻名义共同生活的男女，起诉到人民法院要求离婚的，应当区别对待：(二)1994年2月1日民政部《婚姻登记管理条例》公布实施以后，男女双方符合结婚实质要件的，人民法院应当告知其在案件受理前补办结婚登记;未补办结婚登记的，按解除同居关系处理。”

本案中，你与徐某在2004年认识，未办理结婚登记手续即以夫妻名义共同生活，属非法同居，你与徐某的婚姻关系无效。因此，你不能以配偶的名义继承徐某的遗产。